Как можно изменить длину когерентности световых волн

Свет, испускаемый естественным или
искусственным источником, представляет
собой наложение (суперпозицию) волн
испускаемых отдельными атомами.
Возбужденные атомы испускают свет
независимо друг от друга.

Из-за несогласованности излучений
отдельных атомов, волны, испускаемые
различными источниками, даже в том
случае, когда длина волны излучения у
них одна и та же, не могут быть когерентными
(поэтому при использовании нескольких
лампочек для освещения не возникает
проблем с темными и светлыми полосами).

На практике когерентные световые волны
можно получить, разделив (путём отражения
или преломления) волну, излучаемую одним
источником на две (или более) части. Если
заставить эти две волны пройти разные
оптические пути, а потом наложить их
друг на друга, наблюдается интерференция.
На практике при увеличении разности
хода волн интерференционная картина
может исчезнуть.

Максимальная величина оптической
разности хода двух волн, полученных
делением одной волны на части, при
которой еще наблюдается интерференция,
называется длиной когерентности
излучения.Длина когерентности
излучения определяется длиной волны и
шириной спектра излучения и равна

L_K
= λ²/
∆λ, (I7)

где ∆λ —
ширина спектрального интервала в длинах
волн, в пределах которого интенсивность
излучения отлична от нуля.

Таким образом, длина когерентности
излучения определяется характеристиками
источника излучения (или приемника
излучения, если его чувствительность
зависит от спектра излучения) и не
зависит от оптической схемы наблюдения
интерференции. Поэтому, решая вопрос о
возможности наблюдения интерференции
в конкретной оптической схеме, необходимо
рассчитать длину когерентности излучения
и сравнить ее с оптической разностью
хода, получаемой в данной схеме.

Если длина когерентности больше
оптической разности хода (L_K

∆),то интерференция наблюдается.
Если же длина когерентности меньше
оптической разности хода (L_K
< ∆),то интерференция не наблюдается.

Максимальное значение промежутка
времени, при котором когерентность ещё
сохраняется, называется временем
когерентностиизлучения
(t_k).

Длина и время когерентности связаны
следующим соотношением:

L _K
= t _K
V, (18)

где V— скорость света.

2.4. Интерференция в тонких пленках.

При освещении тонкой плёнки или пластинки
происходит наложение световых волн,
отразившихся от передней и задней
поверхностей плёнки. Эти две волны
получаются делением волны, идущей
от одного источника S(см. рис.4). Для плоскопараллельной
пластинки постоянной толщины
интерференционная картина наблюдается
в фокальной плоскости линзы, собирающей
отражённые от верхней и нижней граней
пластинки пучки лучей1и2.

Лучи 1и2образуются из падающего
на пластинку луча SA.От источника Sдо точкиАмежду ними разность хода
отсутствует. ЛинияDC,перпендикулярная лучам1и2,
представляет собой волновую
поверхность,т.е. поверхность постоянной
фазы.

Линза не вносит дополнительной разности
хода для параллельных лучей, а лишь
преобразует плоскую волну в сходящуюся
сферическую волну. Поэтому после
перпендикуляра DC,опущенного на лучи1и2, до точки
наложения лучейРразность хода
между лучами1и2также не
возникает.

Рис.4.
Интерференция света в тонкой пленке.

Оптическая разность хода между лучами
1и2возникает из-за того, что
первый луч прошел, отразившись от границы
раздела воздух-среда, отрезок
ADв воздухе, а
второй луч прошел путьАВСот точкиАдо точкиСв пластинке с
показателем преломления n
и отразился от границы раздела
среда-воздух.

При отражении световой волны от оптически
более плотной среды (отражение луча 1в точкеА) фаза отраженной волны
изменяется на противоположную (т.е. на
π).Это можно представить как возникновение
разности хода равной половине длины
волны для первого луча. При отражении
волны от оптически менее плотной среды
(отражение луча2в точкеВ)
изменения фазы не происходит, и
соответственно разности хода не
возникает.

Поэтому колебания в точку С(волновая
поверхность DC)приходят оптическими путями:
L₁
= n(AB + ВС)
и L₂
= AD + λ/2.
Отсюда можно записать, что оптическая
разность хода, возникающая между лучами1и2от источникаSдо точки
наложения лучейРбудет равна:

∆ =
L ₁ —

L₂
= n
(АВ + ВС) — (AD
+ λ /2) = 2nАВ
— AD – λ /2(19)

Отрезки AD и АВ удобнее выразить через
толщину пластинки (d)
и угол падения луча ( i
) или угол преломления луча (r),
используя треугольники ABEи ACD:

из
треугольника ABE
АВ =
d / cos r, ЕВ =
d tg r (20)

из
треугольника ADC
AD = AC sin i, AC
= 2EB = 2d
tg r,

∆ = 2nd/Cos r –
AC Sin i = 2nd
/Cos r —
2dtg rsin i =
2nd /
Cos r —
2dSin r /Cos r Sin
i = 2d/Cos r (n —
Sin r Sin i )

по закону преломления света на границе
двух сред Sin
i = n Sin r, тогда

Δ = 2d/Cos r (n —
nSin²r),
умножим левую половину равенства
на nn

Δ= 2d/nCos r.(n²
— n²
Sin²r),из тригонометрии знаем,
что,

тогда,
если то получим:

₍₂₁₎

вспомним,
что n ·
Sin r = Sin i,тогда,
учтём изменение фазы отражённого
луча на λ⁄2
и получим:

₍₂₂₎

Длина когерентности

Известно, что строго монохроматический свет – это идеализация. Реальный свет, как бы мы не старались его монохроматизировать, остаётся в той или иной степени немонохроматическим, представляющим собой набор монохроматических компонент в некотором конечном интервале длин волн (l, l + Dl). Примем, что эти монохроматические компоненты равномерно заполняют указанный интервал.

Как показывает формула (), ширина полос DX ~ l. Изобразим положения максимумов для волн, соответствующих крайним значениям спектрального интервала (l, l + Dl) сплошными отрезками — для l, пунктирными – для l + Dl (рис. ). Максимумы же от промежуточных длин волн заполняют интервал между крайними максимумами каждого порядка интерференции.

В результате промежуточные максимумы, как видно из рис. 1 будут постоянно заполнять интервал между максимумами соседних порядков для l и l + Dl. А это значит, что результирующие максимумы (нижняя часть рисунка) будут постоянно размываться, и качество интерференционной картины станет хуже. Отчётливость интерференционной картины количественно характеризуется её видимостью:

(1)

Максимальная видимость (V = 1) достигается при Jmin = 0, а минимальная (V = 0) – при Jmax = Jmin, т. е. когда интерференционная картина отсутствует.

С помощью рис. можно заключить, что полосы исчезнут там, где M(l + Dl) » (M + 1)l, здесь M – предельный порядок интерференции, начиная с которого полосы исчезают. Отсюда:

(2)

Величина l/Dl характеризует Степень монохроматичности Света: чем она больше, тем больше и степень монохроматичности.

Таким образом, мы нашли то значение M, при котором картина интерференции исчезает, т. е. складываемые колебания становятся уже некогерентными. Найденное значение M () определяет так называемую Длину когерентности:

. Отсюда следует, что

(3)

Видно, что длина когерентности световой волны непосредственно связана со степенью монохроматичности (l/Dl): чем больше последняя, тем больше и длина когерентности. Для солнечного света Lcog » 5l, для лучших (не лазерных) источников света удалось получить Lcog порядка нескольких десятков сантиметров. Лазеры позволили получить излучение с Lcog порядка сотен метров (и даже нескольких километров).

Итак, можно утверждать, что для получения интерференционной картины необходимо, чтобы оптическая разность хода складываемых колебаний была меньше длины когерентности:

Это требование касается Всех Установок, с помощью которых мы хотим наблюдать картину интерференции.

В заключение заметим, что длина когерентности связана с так называемым Временем когерентности TCog – промежуток времени, в течение которого случайные изменения фазы световой волны в данной точке достигают значения порядка p. За это время волна распространяется на расстояние порядка Lcog = CTCog.

До сих пор размер источников предполагался малым (часто говорят точечный источник). Увеличение размеров источника, как и уменьшение степени монохроматичности света приводит к ухудшению (размытию) интерференционных полос и даже к полному их исчезновению.

Ширина когерентности.

1. Рассмотрим первую экспериментальную установку для демонстрации интерференции, предложенную Юнгом (опыт Юнга). В ней яркий пучок света освещал узкую щель S (рис. ). Прошедший через щель свет вследствие дифракции образует расходящуюся волну, которая падает на две узкие щели S1 и S2. Эти щели действуют как вторичные когерентные источники и, исходящие из них дифрагированные волны, перекрываясь, дают на экране Э систему интерференционных полос.

Для получения устойчивой во времени интерференционной картины необходимо, чтобы геометрия установки удовлетворяла определённым условиям, связанным со свойствами используемого излучения. Эти свойства, во-первых, задавались Длиной когерентности, что связано с монохроматичностью источника. Во-вторых – Шириной когерентности.

Что представляет собой ширина когерентности рассмотрим на примере опыта Юнга, предположив, что излучение источника S монохроматично, но щель имеет конечную ширину. Расширение щели, как и уменьшение степени монохроматичности света приводит к ухудшению (размытию) интерференционных полос и даже к полному их исчезновению.

Интерференционную картину на экране Э (рис. ) можно представить как наложение интерференционных картин от бесконечно узких щелей, на которые мысленно разобьём щель S. Пусть положение максимумов на экране от узкой щели, взятой около верхнего края щели S – точки 1 – таково, как отмечено сплошными отрезками на рис. . А максимумы от узкой щели, взятой около нижнего края щели S – точки 2 – будут смещены вверх, они отмечены пунктирными отрезками на этом же рисунке. Интервалы между этими максимумами заполнены максимумами от промежуточных узких щелей, расположенных между краями 1 и 2.

При увеличении ширины щели S расстояния между максимумами от её крайних элементов будут увеличиваться, т. е. интервалы между соседними максимумами от одного края щели будут постепенно заполняться максимумами от остальных элементов щели. Если положить для простоты расстояния A = B, тогда при ширине щели S, равной ширине интерференционной полосы DX, интервал между соседними максимумами от края 1 будет целиком заполнен максимумами от остальных элементов щели, и интерференционные полосы исчезнут.

Но это явление можно объяснить и иначе, а именно, интерференционная картина исчезает вследствие того, что вторичные источники – щели S1 и S2 – становятся некогерентными. Это позволяет говорить о Ширине когерентности (Hcog) падающей на щели S1 и S2 световой волны от S, где отдельные участки волны в достаточной степени когерентны между собой.

Найдём формулу для вычисления Hcog. В рассматриваемой схеме запишем условие, при котором щели S1 и S2 становятся некогерентными источниками:

, (4)

Где D – расстояние между щелями. Кроме того, выяснили, что картина исчезнет, когда ширина щели S » DX. Ширина же полосы, согласно (6), равна:

; (5)

Из этих трёх равенств получим:

, (6)

Где j — угловая ширина щели S относительно диафрагмы с двумя щелями (в опыте Юнга).

Если в качестве источника использовать Непосредственно Солнце (его угловой размер j » 0,01 рад и l » 0,5 мкм), то ширина когерентности, согласно (6), Hcog » 0,05 мм. Поэтому для получения интерференционной картины от двух щелей с помощью такого излучателя расстояние между двумя щелями должно быть меньше 0,05 мм, что сделать практически невозможно.

Итак, для получения устойчивой интерференционной картины с использованием обычных (не лазерных) источников света необходимо исходную световую волну расщепить подходящим способом на две части, которые затем в области перекрытия и образуют систему полос, но лишь в том случае, если у исходной световой волны:

1) длина когерентности LCog превышает оптическую разность хода складываемых колебаний;

2) ширина когерентности Hcog превышает расстояние D между щелями.

Насколько большими должны быть эти величины, общепринятого соглашения нет. Это зависит от желаемого значения параметра видности.

Заметим также, что в разных интерференционных схемах под D надо понимать расстояния между некоторыми характерными лучами в месте расщепления исходной световой волны.

В этой статье мы расскажем, что означает понятие когерентности, определим ее основные виды (временная и пространственная), а также решим несколько задач, связанных с оценкой когерентности. Начнем с базового определения.

При наблюдении интерференции волн одним из важнейших условий является их когерентность. О наличии когерентности говорят тогда, когда имеет место согласованность протекания волновых или колебательных процессов во времени и пространстве.

Когерентность характеризуется такой чертой, как степень (иначе ее можно назвать степенью согласованности вышеуказанных процессов). Различают два основных типа данного явления – временную и пространственную когерентность.

Что такое временная когерентность

Данный тип когерентности характеризуется длиной и продолжительностью. Она возникает тогда, когда мы имеем дело с немонохромным точечным источником света. Примером могут быть полосы, наблюдаемые при интерференции в специальном приборе – интерферометре Майкельсона: чем выше оптическая разность, тем менее четкими становятся полосы (вплоть до полного исчезновения). Основная причина временной когерентности света лежит в длине источника и конечном времени свечения.

Рассматривать когерентность можно с точки зрения двух подходов. Первый принято называть фазовым, а второй частотным. Фазовый подход заключается в том, что частоты формул, описывающих колебательные процессы в определенной точке пространства, возбуждаемые двумя накладывающимися волнами, будут постоянными и равными друг другу ω1=ω2.

Важно, что δ(t)=α2(t)-α1(t). Здесь выражение 2I1I2cos δ (t) – это так называемый интерференционный член.

Если мы измеряем процесс интерференции каким-либо прибором, необходимо учитывать, что он в любом случае будет иметь время инерции. Время срабатывания прибора можно обозначить как ti. Тогда если за время, равное ti, cos δ (t) будет принимать значения в интервале от минус единицы до плюс единицы, то 2I1I2cos δ t=0.

В таком случае исследуемые волны когерентными не являются. Если же за указанное время величина cos δ (t) сохраняется практически неизменной, то интерференция становится очевидной, и у нас получаются когерентные волны.

Из всего этого можно сделать вывод об относительности понятия когерентности. При малой инерционности прибора интерференция, как правило, обнаруживается, а если прибор обладает большим временем инерции, то нужную картину мы можем просто не увидеть.

Время когерентности, обозначаемое как tkog – это такое время, за которое происходит случайное изменение фазы волны a(t), примерно равное π.

Если ti≪tkog, то в приборе становится видно четную интерференционную картину.

Длина когерентности – это определенное расстояние, при перемещении по которому фаза претерпевает случайное изменение, примерно равное π.

Если мы делим естественную световую волну на две части, то для того, чтобы увидеть интерференцию, нужно сохранить оптическую разность хода меньше, чем lkog.

Время когерентности имеет зависимость от интервала частот, а также от длины волн, представленных в общей световой волне.

Временная когерентность связана с разбросом величин модуля волнового числа k→.

Что такое пространственная когерентность

Если мы имеем дело с монохроматическим протяженным, а не точечным источником света, то здесь вводится понятие пространственной когерентности. Она имеет такие характеристики, как ширина, радиус и угол.

Пространственная когерентность зависит от вариативности направлений вектора k→. Направления данного вектора могут быть охарактеризованы с помощью единичного вектора ek→.

Длина пространственной когерентности, или радиус когерентности, – это расстояние ρkog.

Буквой φ обозначен угловой размер источника световой волны.

Если волна света располагается вблизи нагретого тела, то ее пространственная когерентность составляет всего несколько длин волн. Чем больше расстояние от источника света, тем выше степень пространственной когерентности.